Numero primero
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Os numeros primers son un subconchunto d'os numeros naturals que complega toz os elementos d'iste conchunto que nomás tienen un unico divisor diferent a la unidat. Os primers vinte numeros primers son:
Note-se que toz os numeros naturals son divisibles por els mesmos y por a unidat.
O numero primero mas chicot ye o 2 y, de feito, ye o unico numero primero que ye tamién par, ya que cualsiquier par mas gran ye multiple de dos.
O teorema fundamental de l'aritmetica estableix que cualsiquier entero positivo superior a 1 puet representar-se siempre como un producto de numeros primers, y ista representación (factorización) ye unica. O teorema d'Euclides contrimuestra que existen sinfinitos numeros primers. Amás se sabe que no i hai garra limite t'a distancia entre dos primers consecutivos, ye decir, dau un numero N, se puede trobar dos numeros primers a y b tals que entre a y b no n'i aiga d'atros. Encara no s'ha puesto prebar, pero ye conchectura, que existen sinfinitos numeros primers d'a forma p1 = p2 + 2 (estando p1 y p2 primers) u primers bezons. Sí que s'ha contrimostrau que os unicos primers trichemins (primers d'a forma p1 = p2 + 2 i p2 = p3 + 2) son 3, 5 y 7.
Contrimuestra d'a infinitut d'os numeros primers
editarA primera contrimuestra d'a infinitut d'os numeros primers la proporciona Euclides en o libro IX d'os suyos Elementos. Ye un clasico eixemplo de contrimuestra por reducción a l'absurdo:
Suposemos que existe un numero finito de primers, y que P ye o mas gran d'els. Construyimos alavez o numero (2·3·5·7·11·...·P) + 1, ye decir, o producto de toz os numeros primers mas uno. Iste numero no ye divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni, a la finitiva, por garra numero primero, porque en toz os casos a división da 1 como resta. Por ixo nomás puet estar que P siga primero u que que siga divisible por unatro numero primero que se trobe entre P i (2·3·5·7·11·...·P) + 1; en cualsiquiera d'os casos hemos trobau un numero primero mas gran que P, contradecindo a suposición inicial y, per ixo mesmo, contrimostrando o teorema.
Clases de primers
editar- Numero primero de Mersenne (de forma Mp = 2p - 1 an que p ye primer)
- Numero primero de Sophie Germain (un p primero tal que 2p + 1 ye primero)
- Numeros primers bezons (p y p + 2 primers)
- Numero primero de Fermat (de forma )
Aplicacions
editarD'entre muito tiempo, a teoria de numeros en cheneral, y o estudio d'os numeros primers en particular, yeran vistos como l'eixemplo canonico d'as matematicas puras, sin d'aplicacions difuera d'o propio intrés d'estudiar o tema. En particular, teoricos de numeros como o matematico britanico G. H. Hardy se feban argüellosos de fer una faina que no teneba brenca d'importancia militar.[1] Entremistanto, ista visión quedaba esmicazada en os anyos 1970 cuan s'anunciaba publicament que os numeros primers se podrían fer servir como a base t'a creyación d'algorismos de criptografía de clau publica. Os numeros primers tamién s'emplegan ta construir as tablas hash y os cheneradors de numeros pseudoaleatorios.
Cuan se disenyan engranaches os numeros de dients d'as ruedas dentadas se mira de trigar-los que sigan numeros primers u parellas de numeros primers entre els. D'ista traza cada dient d'una d'as ruedas entra en contacto un mesmo numero de vegadas con cadagún d'os dients de l'atra rueda y o desgaste ye uniforme.
Criptografía de clau publica
editarL'algorismo RSA se basa en a obtención d'a clau publica por meyo d'a multiplicación de dos numeros grans (mas grans que 10100) que sigan primers. A seguridat d'iste algorismo se basa en o feito que no i hai trazas rapedas de factorizar un numero gran en os suyos factors primers emplegando ordenadors tradicionals. A computación cuantica podría furnir en o futuro una solución a iste problema de factorización.
Os primers de Mersenne se troban entre os mas grans conoixius (243112609-1, de doce millons nueucientos mil dichitos, ye dica setiembre de 2008 o mas gran d'os conoixius).
Contino s'amuestra un eixemplo de función sencilla en C++ ta trobar si un numero ye primero u no:
bool ye_primero(int n) { if(n <= 1) return false; for(int i = 2; i*i <= n; ++i){ if(n % i == 0) return false; } return true; }
Referencias
editar- ↑ , G.H. (1940), A Mathematician's Apology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-42706-1. “No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years”