Ecuación

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Una equación ye, en matematicas, una igualdat que contiene una o quantas variables. Resolver a equación ye determinar as valors que pueden prener a variable (u as variables) ta mirar de fer verdadera a igualtat. A variable tamién se diz desconoixita u incognita y as valors ta as qualas a igualtat se verifica solucions. A esferencia d'una identitat, una equación ye una igualdat que no ye necesariament verdadera ta todas as valors posibles d'a variable. As equacions pueden estar de naturaleza diversa y apareixen en diferents brancas d'as matematicas. As tecnicas asociatas a o suyo tractamiento son diferents seguntes o tipo d'equacions.

Un sistema dinamico corresponde a un tipo particular d'equación, as solucions d'a quala son funcions. O comportamiento limite ye a vegadas complexo. En bells casos, se caracteriza por una curiosa fegura cheometrica, dita atractor estranyo.

Robert Recorde ye un precursor d'a escritura d'una equación. Inventó l'uso d'o signo = ta designar una igualdat.

L'alchebra estudea mas que mas dos familias d'equacions: as equacions polinomicas y as equacions lineals. As equacions polinomicas son d'a forma P(X) = 0, a on P ye un polinomio. Os metodos de transformacions y de cambeo de variable permiten resolver as mas simplas. As equacions lineals son d'a forma a(x) + b = 0, a on a ye una aplicación lineal y b un vector. Ta resolver-las se fan servir tecnicas algorismicas u cheometricas, que salen de l'alchebra lineal u de l'analís matematica. Si se modifica o conchunto en que ye definita a variable puet cambear considerablement a naturaleza d'a equación. L'alchebra estudea tamién as equacions diofanticas, unas equacions en as que os coeficients y as solucions son enters. As tecnicas emplegatas son diferents y esencialment procedents de l'aritmetica modular. Istas equacions son, por un regular, difícils; a sobén nomás se mira de determinar a existencia u l'ausencia de solucions y, si en existen, o suyo numero.

A cheometría fa servir as equacions ta caracteritzar as feguras. En relación a os casos anteriors, l'obchectivo ye diferent; a equación se fa servir ta meter en evidencia propiedatz cheometricas. En iste contexto bi ha dos grans familias d'equacions: as cartesianas y as parametricas.

L'analís estudea equacions d'o tipo f(x) = 0, a on f ye una función que tien bellas propiedatz como a continuidat, a derivabilidat u, mesmo, o feito d'estar contractant. Bi ha tecnicas que permiten construyir succesions que converchen en una solución d'a equación. L'obchectivo ye poder aproximar a solución con tanta precisión como sía posible.

Un sistema dinamico ye o que evoluciona a o largo d'o tiempo. Se define ta una equación en a que as solucions son, u bien succesions –que indican as valors d'o estato d'o sistema en cadagún d'os instantes discretos de tiempo–, u bien funcions d'una variable (por eixemplo, o tiempo), u bien de quantas variables (o tiempo y atras como, por eixemplo, as coordenatas cartesianas d'os puntos d'o espacio). Existen dos qüestions centrals: o "estato inicial" y o "comportamiento asimptotico". Ta cada estato inicial admisible –por eixemplo, a valor d'a succesión u d'a función en zero–, a equación admite una unica solución. A vegadas, una chicota modificación d'o estato inicial modifica poco a solución. No ye siempre iste o caos; ista sensibilidat a la condición inicial ye l'obchecto d'a primera qüestión. O comportamiento limite u tamién asimptotico d'una solución corresponde a la forma d'a solución quan a variable (o tiempo) tiende enta o infinito; iste comportamiento ye l'obchecto d'a segunda qüestión. Si no diverche, puet tender enta un valor data, u bien amanar-se a un comportamiento ciclico –una función periodica u una succesión que recorre siempre un mesmo conchunto finito de valors y en o mesmo orden–, u bien tener un comportamiento caotico. En iste zaguer caso pareixe que evolucione a l'azar, encara que a solución sía, por definición, determinista.

Vinclos externos

• (fr) Équation mathématique de l'Encyclopaedia Universalis
• (fr) Équations de l'Encyclopédie Encarta
• (fr) J. Y. Briend Le théorème fondamental de l’algèbre Université de Provence Aix Marseille
• (fr) La naissance de la géométrie analytique : la Géométrie de Descartes (1637) IREM de Rennes
• (fr) D. Richard Algorithme d'Euclide et équation diophantienne Université de Clermont1
• (fr) P. Fradin Résolution approchée d'équations Extrait d'un cours de MPSI
• (fr) A. Chambert-Loir Autour de la méthode de Newton Université de Rennes I
• (fr) J. P. Louvet Dimension fractale par l'Université de Bordeaux I
• (fr) D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay