Diferencia entre revisiones de «Divisibilidat»

Os diferents criterios de divisibilidat se pueden clasificar en base a o tipo de manipulación que cada un fa con as cifraszifras que representan o numero escrito en una base dada.

===Criterios basatos en as zagueras cifraszifras===

Si un numero ''p'' ye divisor de 10ⁿ alavez ta saber si un numero qualsiquiera ''z'' ye divisible entre ''p'' nomas cal verificar que o numero ''z''' formato por as ''n''-1 zagueras cifraszifras de ''z'' sían multiplo de p.

Por eixemplo 1000 ye multiplo de 125 por tanto ta saber si un numero ye multiplo de 125 bi'n ha prou con comprevar que o numero formato por as suyas tres zagueras cifraszifras ye multiplo de 125.

===Criterios basatos en a suma de cifraszifras===

{{cita|Un numero ''z'' ye divisible entre ''p'' si: <br>o numero que s'obtiene como resultato de sumar cadaguna d'as suya cifraszifras ''a''_n multiplicata por o repui de dividir ''b''ⁿ entre ''p'', <br>ye multiplo de ''p''.}}

{{cita|Ta saber si un numero ''z'' escrito en base 10 ye divisible entre 11:<br> sumar as cifraszifras par, multiplicar-las por 10 y sumar-le a o resultato a suma de totas as cifraszifras impars, <br> si o resultato ye multiplo d'11 o numero ''z'' tamién en ye.}}

suma de cifraszifras pars: 5+6+0+3+3=17,

suma de cifraszifras impars: 7+8+2+6+5=28,

Una observación que se fa servir a sobén en istos metodos ye que 10 mod 11 = -1 mod 11, por tanto ye o mesmo multiplicar por 10 as cifraszifras pars que restar-las. En o caso anterior:

{{cita|Ta saber si un numero ''z'' escrito en base 10 ye divisible entre 11:<br> sumar as cifraszifras pars, y d'atra man as cifraszifras impars, <br> a la suma d'as cifraszifras impars, restar-le a suma d'as cifraszifras pars, <br> si o resultato ye multiplo d'11 o numero ''z'' tamién en ye.}}

==== Caso en que se suman grupos de cifraszifras ====

Os criterios que resultan d'as cintas de Pascal aplicatos cifrazifra por cifrazifra tienen o inconvenient de que cada cifrazifra cal multiplicar-la por un numero. O caso en que ye mas practico ye quan o numero ye 1 (u -1 ≡ p-1).

Pero qualsiquier numero escrito en base ''b'' tamién se puet considerar escrito en base ''b''^m si as suyas cifraszifras se chuntan en grupos de ''m'' en ''m''. Por eixemplo 1253 que en base diez quiere decir:

Ta evitar fer multiplicacions a cinta de Pascal ye puet fer servir porque una vegata trobata pillar as posicions a on bi ha 1 (u 1 i -1) y creyar un criterio de divisibilidat basato en un bloque de cifraszifras.

{{cita|Ta saber si un numero ''z'' escrito en base 10 ye divisible entre 7:<br> 1) Deseparar as suyas cifraszifras en grupos de 3 en 3<br> 2) Sumar por deseparato os grupos impars y os grupos pars <br> 3) D'o resultato d'a suma d'os grupos pars restar o resultato d'a suma d'os grupos impars. <br> Si o numero que resulta ye multiplo de 7 alavez ''z'' tamién en ye.}}

Por eixemplo, ta saber si 2.250.198.909.861 ye multiplo de 7, se suman os grupos de cifraszifras pars: 909+250=1159 y os grupos impars: 861+198+2=1061 y d'os pars se restan os impars: 1159-1061=98. Como 98 ye multiplo de 7 (98=7x14) alavez 2.250.198.909.861 tamién en ye.

===Criterios basatos en sumar a las primeras cifraszifras un multiplo d'a zaguera===

Istos criterios buscan transformar o problema de saber si un numero ''z'' ye multiplo de ''p'' en o problema de saber-lo ta un numero ''z''' que tien una cifrazifra menos que ''z''. Asinas, aplicando repetidament o criterio, si ''z'' ye multiplo de ''p'' en zagueras se plega a un numero facil d'identificar si ye u no multiplo de''p''

A on ''a''₀ ye a cifrazifra d'as unidatz de ''z'' i ''z''_p ye o numero que forman a resta de cifraszifras (o numero de decenas que tien ''z'').

{{cita|Un numero z en base 10 ye divisible entre 7 si tamién en ye o resultato de: <br>sumar a o numero de decenas a cifrazifra d'as unidatz multiplicata por 5.}}

{{cita|Un numero z en base 10 ye divisible entre 7 si tamién en ye o resultato de: <br>restar a o numero de decenas a cifrazifra d'as unidatz multiplicata por 2.}}

| 2 || Un numero ye divisible entre 2 si a cifrazifra d'as suyas unidatz ye multiplo de 2 ||

| 3 || Un numero ye divisible entre 3 si a suma d'as suya cifraszifras ye divisible entre 3. ||

| 5 || Un numero ye divisible entre 5 si a zaguera cifrazifra ye multiplo de 5. ||

| || Un numero ye divisible entre 7 si en deseparar as suyas cifraszifras en grupos de 3, sumar-las y restar-las alternativament da un numero que ye multiplo de 7 ||

:8 - 641 + 975 - 237 + 077 = 182 que ye multiplo de 7 porque (criterio anterior en tener menos de 3 cifraszifras):

| 11 || Un numero ye divisible entr 11 si en sumar y restar alternativament as suyas cifreszifras u resultato ye multiplo d'11||

| || Un numero ye divisible entre 13 si en deseparar as suyas cifraszifras en grupos de 3, sumar-las y restar-las alternativament da un numero que ye multiplo de 13 ||

:1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854 = -1.664 que ye multiplo de 13 porque (criterio anterior en tener pocas cifraszifras):

| || Un numero ye divisible entre 17 si en separar as suyas cifraszifras en grupos de 8, sumar-las y restar-las alternativament da un numero que ye multiplo de 17 ||

| || Un numero ye divisible entre 19 si en deseparar as suyas cifraszifras en grups de 9, en sumar-las y restar-las alternativament da un numero que ye multiplo de 19 ||

:48822138-835949515+214962479 = -572164898 que ye multiplo de 19 porque (criterio anterior en tener pocas cifraszifras):

En a siguient tabla, ta bells numeros primers mas grans de 20, se dan o factor que multiplica as unidatz ta o caso d'o metodo basato en sumar a las decenas un multiplo d'as unidatz y ta o caso de deseparar o numero en bloques de cifraszifras a largaria d'o bloque y o coeficient d'os bloques pars (o d'os bloques impars se considera siempre 1).

!Nombre|| Factor d'as unidatz ||CifrasZifras d'o bloque|| Factor d'o bloque impar