Diferencia entre revisiones de «Teoría de grupos»

A '''teoría de grupos''' ye a branca de l'[[alchebra]] que estudeya os grupos. Un ''grupo'' ye una [[estructura alchebraica]] que consta d'un [[conchunto]] que ye definito chunto con una [[operación binaria|operación]] que combina qualsiquier parella d'os suyos elementos ta formar un tercer elemento. Debito a que se pueden calificar como un grupo, o conchunto y operación han de satisfer unas quantas condicions ditas [[axioma]]s de grupo, istas condicions son: tener a [[propiedat asociativa]], tener [[elemento identidat]] y [[elemento inverso]]. Mientres que istas caracteristicas son familiars a muitas [[estructuras matematicas]], como os diferents sistemas de [[numersnumeros]] (por eixemplo os enters dotatos d'a operación d'adición forman una estructura de grupo) a formulación d'os axiomas se desepara d'a naturaleza concreta d'o grupo y o suyo funcionamiento. Ixo premite, en [[alchebra abstracta]] y altros campos, maniar entidatz d'orichens matematicos muit diferents d'una manera flexible, mientres se conservan aspectos estructurals esencials de muitos obchectos. A utilidat d'os grupos en numerosas arias (tanto adintro como difuera d'as matematicas) fa d'ells un prencipio central arredol d'o qualo s'organizan as matematicas contemporanias.<ref>Herstein, 1975 §2, p. 26</ref><ref>Hall, 1967 §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."</ref>

Os grupos tienen una relación muit estreita con a noción de [[simetría]]. Un [[grupo de simetría]] codifica as caracteristicas de simetría d'un obchecto [[cheometría|cheometrico]]: consiste en o conchunto de transformacions que dixan inalterato l'obchecto, y a operación de combinar dos d'istas transformacions realizando-ne una dimpués de l'atra. Istos grupos de simetría, mas que mas os [[grupos de Lie]] continos, chugan un papel important en muitas disciplinas academicas. Os [[grupo de matriz|grupos de matrices]], por eixemplo, se pueden fer servir ta entender as leis [[fisica]]s fundamentals en que se basan a [[relatividat especial|relatividat]] y os fenomens de simetria en a [[quimica]] molecular.

O concepto d'un grupo apareixió con o estudio d'as [[equacions polinomicas]], prencipiato por [[Évariste Galois]] mientres os anyos [[1830]]. Dimpués de contribucions dende atros campos como a [[teoría de numersnumeros]] y a cheometría, la noción de grupo se cheneralizó y s'establió ta cutio arredol de [[1870]]. A moderna teoría de grupos (una disciplina matematica muit activa) estudeya os grupos ''per se''.<ref>En ''Mathematical Reviews'' apareixen 3.224 articlos de rechira sobre teoría de grupos y as suyas cheneralizacions escritos en l'anyo l'any 2005</ref> Ta esplorar os grupos, os matematicos han ideyato [[glosario de teoría de grupos|diversas nocions]] como dividir os grupos en trozos mas chicotz y mas comprensibles, como los [[subgrupos]], [[grupo cocient|grupos cocients]] y [[grupo simple|grupos simples]]. Amás d'as suyas propiedatz abstractas, os teoricos d'os grupos tamién estudeyan as formas diferents en que un grupo se puet exprisar en forma concreta (as suyas [[representación d'un grupo|representacions de grupo]]), tanto dende un punto d'anvista [[teoría d'a representación|teorico]] como d'un punto d'anvista [[teoría de grupos computacional|computacional]]. Una teoría muit rica s'ha desembolicato ta os [[grupo finito|grupos finitos]], que remató con a [[clasificación d'os grupos simples finitos]] rematata en [[1983]].

Un d'os grupos mas familiars ye o conchunto d'os [[numersnumeros enters]] '''Z''' que consiste en os numersnumeros

* <math>(\mathbb{Z},+)</math>, o conchunto de [[numersnumeros enters]] con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o ''0'', y o simetrico de ''x'', ye ''-x''.

* <math>(\mathbb{R},+)</math>, o conchunto d'os [[numersnumeros reals]] con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o ''0'', y o simetrico de ''x'', ye ''-x''.

* <math>(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)</math>, o conchunto d'os numersnumeros reals (escluyendo a lo '''0''') con a multiplicación, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye l'''1'', y o simetrico de ''x'' ye ''1/x''. Cal parar cuena que en no tener o [[cero]] elemento simetrico multiplicativo, se debe excluyir.

As radices historicas d'a teoría de grupos son a [[teoría d'as equacions alchebraicas]], a [[teoría de numersnumeros]] y a [[cheometría]]. [[Euler]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Lagrange]], [[Niels Henrik Abel|Abel]] y [[Galois]] estioron os investigadors que prencipioron ista sciencia. Galois ye reconoixito como lo primer matematico que relacionó ista teoría con a [[teoría de cuerpos]] resultando en a [[teoría de Galois]]. Atros importants matematicos en iste campo incluyen a [[Arthur Cayley|Cayley]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]], [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Sylow]] entre muitos atros. Estió [[Walter von Dick]] qui en [[1882]], dió a moderna definición de grupo.